II.4.- Distancias

Icono IDevice Distancia entre dos puntos
La verdadera distancia entre dos puntos del espacio (o la longitud de un segmento, como se prefiera) no se manifiesta en verdadera magnitud en ninguna de las proyecciones diédricas (salvo que la recta sea horizontal o frontal).

En la figura (caso genérico) ocurre que r >= r1 (AC > A1C1) y r >= r2 (AC > A2C2):

Segmento en el espacio

Para manifestar esa magnitud, debe construirse una reproducción del segmento en verdadero tamaño sobre el papel. Aunque hay varios métodos para hacerlo, el más sencillo es abatir el segmento en el papel alrededor de una de sus proyecciones.

Para ello, en la fgura de la izquierda se han construído dos triángulos rectángulos. Los catetos del primero son la diferencia de cotas (b) y la diferencia de refererencias o coordenadas z (a) y la hipotenusa es r2. En el segundo, los catetos son r2 y la diferencia de alejamientos (c), y la hipotenusa es la longitud real de r buscada. Llevarlo al sistema diédrico es muy simple: En la figura de la derecha hemos construido directamente el segundo triángulo con r2 y c (diferencia de alejamientos):

Longitud de un segmento

Igualmente puede realizarse la misma construcción haciendo uso de r1 y de la diferencia de cotas (b):

Longitud de un segmento
Si se necesita trasladar un segmento de una longitud dada sobre una recta, no hay más que practicar una homotecia. Se toma un punto cualquiera Q para abatir la recta y se marca la longitud deseada sobre ella. Luego se desabate el extremo sobre las proyecciones de la recta (punto B, en la figura).

Dibujar un segmento de una longitud dada

Icono IDevice Distancia entre punto y plano
La distancia entre un punto P y un plano α es la longitud del segmento que une el punto P con el punto de corte Q de la recta que pasa por P y es perpendicular al plano, así que el problema se reduce a dibujar esta recta y a calcular el punto de corte Q.

Distancia de punto a plano

Icono IDevice Distancia entre punto y recta
Para hallar la distancia de un punto P a una recta r, hay que dibujar un plano α perpendicular a la recta r y que contenga al punto P. El punto Q de corte de la recta r y el plano α es el segundo punto del segmento que define la distancia pedida.

Distancia de punto a recta

Icono IDevice Distancia entre dos rectas paralelas
Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas r y s, hay que dibujar un plano perpendicular a ambas. Los puntos de corte P y Q de las rectas con el plano definen el segmento buscado.

Distancia entre dos rectas paralelas

Icono IDevice Distancia entre dos planos paralelos
Para determinar la distancia entre dos planos paralelos, hay que dibujar una recta r perpendicular a ambos. Los puntos P y Q de intersección de r con los planos proporcionan el segmento buscado.

Distancia entre planos paralelos

Icono IDevice Mínima distancia entre dos rectas que se cruzan
Cuando dos rectas r y s se cruzan en el espacio, existe una mínima distancia entre ellas, y el segmento que contiene esa distancia está en una recta t perpendicular a ambas.

Para dibujarla, se debe tomar un punto A de r y por él dibujar una recta u paralela a s. Las rectas r y u definen un plano α que es paralelo a la recta s. Si hallamos la distancia entre α y s tomando un punto arbitrario B de s y determinando el punto C (distancia punto-plano) ya tenemos la distancia buscada BC.

Para situar además correctamente el segmento buscado, se dibuja una recta v paralela a s por C, que se corta con r en el punto T. La recta paralela a BC que pasa por T define el punto Q. El segmento TQ es el que contiene la mínima distancia buscada.

Distancia entre dos rectas que se cruzan

Este artículo está licenciado bajo Creative Commons Attribution 3.0 License

Antonio Torregrosa Martínez - Universidad de Cádiz