V.4.- Octaedro

- Su superficie está compuesta por 8 caras planas que son triángulos equiláteros.
- Tiene 6 vértices.
- Tiene 12 aristas.

- La longitud de la arista a.
- La longitud de la altura de la cara hc.
- La longitud de la diagonal de la figura d.
A partir de cualquiera de ellas, practicando una homotecia a una figura como la siguiente (de dimensiones indiferentes) podemos encontrar las otras dos:



Se obtiene al cortar dos diagonales cualesquiera de la figura. Tambien si se cortan dos rectas que unan centros de dos caras paralelas, o dos rectas que unan puntos medios de dos aristas paralelas.


Esta posición del octaedro es la más sencilla. En proyección horizontal obtenemos un cuadrado cuyo lado es la arista de la figura. Para la proyección vertical únicamente necesitamos la longitud de la diagonal.

Cuando el octaedro está apoyado en una cara en H, en la proyección horizontal vemos un hexágono, formado por lo tres vértices de la cara apoyada y por los tres de la cara paralela, que también vemos en verdadera magnitud.
En proyección vertical, la distancia entre esas dos caras es la distancia entre caras paralelas que hemos visto en apartados anteriores.

Para facilitar la construcción, podemos dibujar en el plano abatido el un hexágono formado por la cara de apoyo y la paralela, desabatir los 6 puntos y después elevar los tres puntos correspondientes a la cara elevada una altura igual a la distancia entre caras paralelas.


En el ejemplo siguiente se muestra un octaedro con una diagonal principal vertical cortado por un plano oblícuo. En este caso hemos obtenido un polígono de 6 lados, porque el plano corta al octaedro en 6 aristas. Para ver la sección en verdadera magnitud habría que abatir el plano y los vértices del polígono sección (no se ha incluido).

Se denomina Sección Principal del octaedro a la que produce un plano que pasa por una diagonal y por los puntos medios de dos lados paralelos que se crucen con ella.
Determina un rombo, cuya anchura es a, cuya altura es d, y cuyos cuatro lados son hc. Como el octaedro tiene 3 diagonales, hay 3 secciones principales diferentes.

La esfera circunscrita al octaedro pasa por sus seis vértices, su centro también es el centro geométrico del poliedro y su radio es la mitad de la diagonal.

Un plano que pase por el centro geométrico del octaedro y por los puntos medios de dos aristas concurrentes define una sección hexagonal regular, cuyos vértices son los puntos medios de seis de sus aristas, y cuyos lados miden la mitad de la arista a. Los seis vértices del hexágono son puntos medios de otras tantas aristas del octaedro.


En el caso del octaedro, el plano auxiliar más conveniente es un plano proyectante, cuya intersección con las aristas del poliedro se puede determinar fácilmente.


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Antonio Torregrosa Martínez - Universidad de Cádiz