Curso de Sistema Diédrico - Parte I
V.2.- Tetraedro

El tetraedro tiene 3 magnitudes fundamentales, que son:
- La longitud a de la arista.
- La longitud hc de la altura de una cara.
- La longitud h de la altura del tetraedro.

A partir de cualquiera de las
magnitudes anterioes, practicando una homotecia a una figura como la de
la derecha (de dimensiones indiferentes) podemos encontrar las otras
dos.


Caras del tetraedro
Alturas del tetraedro
La altura h es la distancia entre un vértice y la cara opuesta (o entre un vértice y el pie de la perpendicular trazada por él a la cara opuesta). Este pie es el centro de la cara en cuestión.
Centro geométrico del tetraedro
Las cuatro alturas de la figura son iguales y se cortan en el centro geométrico del tetraedro. Si se coloca el tetraedro apoyado en una cara, su centro geométrico está a 1/4 de la altura perpendicular a esa cara.
Aristas del tetraedro
Las caras del tetraedro son
triángulos equiláteros, por lo que sus tres alturas coinciden con sus
tres medianas y con sus tres mediatrices. Si se coloca con un lado
horizontal, el centro geométrico de la cara del tetraedro (incentro,
circuncentro, ortocentro y baricentro) está en 1/3 de la altura
perpendicular a ese lado (ver figura anterior).
Alturas del tetraedro
La altura h es la distancia entre un vértice y la cara opuesta (o entre un vértice y el pie de la perpendicular trazada por él a la cara opuesta). Este pie es el centro de la cara en cuestión.
Centro geométrico del tetraedro
Las cuatro alturas de la figura son iguales y se cortan en el centro geométrico del tetraedro. Si se coloca el tetraedro apoyado en una cara, su centro geométrico está a 1/4 de la altura perpendicular a esa cara.
Aristas del tetraedro
Las
aristas del tetraedro se cruzan dos a dos perpendicularmente. Si se
toman los puntos medios de las aristas y se unen dos a dos se obtienen
dos segmentos que constituyen las mínimas distancias entre esas aristas
que se cruzan.
Para hallar esta mínima distancia, hay que dibujar un triángulo rectángulo en el cual un cateto es a/2 y la hipotenusa es hc.


Esta posición del tetraedro es la más sencilla. Basta con elevar sobre
el plano de apoyo (H en el caso de la figura) la altura h del poliedro,
colocando el cuarto vértice en la vertical sobre el centro de la cara
apoyada.


Cuando el tetraedro tiene dos aristas horizontales (en la figura,
además, una pertenece a H), el contorno de la proyección horizotal del
poliedro es un cuadrado, del cual sabemos que la diagonal es igual a la
artista del poliedro.
La altura de la proyección vertical
viene dada por la mínima distancia (m.d.) entre las dos aristas
paralelas que se cruzan (ver apartados anteriores).


En general, para dibujar un tetraedro apoyado en un plano, se debe
dibujar sobre el plano abatido la cara contenida en dicho plano y,
mediante una perpendicular por su centro, se levanta el 4º vértice con
la altura adecuada (obtenida de la figura homotética auxiliar).
Si el plano es proyectante, vemos esta altura en verdadera magnitud:


Como solución general para cualquier plano, debemos llevar sobre la perpendicular
por el centro de la cara apoyada en él la distancia, en sus dos proyecciones,
que corresponda a la altura del tetraedro:


Como norma general, para hallar la
sección que un plano produce en un poliedro, se debe cortar ese plano
con todas las aristas del mismo. Los puntos de corte, unidos, formarán
un polígono contenido en el plano.
En un tetraedro, un plano secante
puede cortar 3 ó 4 aristas. En el primer caso, el polígono obtenido es
un triángulo y en el segundo, un cuadrilátero.
En los
siguientes ejemplos se ilustran diferentes secciones planas. Se han
obviado los trazados auxiliares (cortes de recta y plano, horizontales
del plano para trasladar puntos, etc...) para dar más claridad a las soluciones.

Tetraedro apoyado en H y cortado por un plano horizontal.
La sección es un triángulo equilátero que vemos en verdadera magnitud
en la proyección horizontal. El caso análogo es el plano apoyado en V y
cortado por un plano frontal.


Tetraedro apoyado en H y cortado por plano proyectante vertical.
Si la traza horizontal del plano corta a la base, la sección es un
cuadrilátero, y en caso contrario (como en el ejemplo), la sección es
un triángulo. Su trazado también es sencillo, ya que en podemos
encontrar de forma inmediata la proyección verical de la sección. Sin
embargo, necesitaremos abatir el plano para ver dicha sección en
verdaderas dimensiones (no se ha incluido).


Tetraedro apoyado en H cortado por un plano oblícuo.
Igual que en caso anterior, si la traza horizontal del plano corta a la
base, la sección es un cuadrilátero, y en caso contrario es un
triángulo. En el ejemplo, como la traza horizontal del plano de corte
no toca la cara de apoyo, solo hemos cortado las tres aristas
levantadas para encontrar la sección. Para ver la sección en verdadera
magnitud hay que abatir el plano (no se ha incluido).


Se denomina Sección Principal del
tetraedro a la que le produce un plano que pasa por una arista y por el
punto medio de la arista contraria. Determina un triángulo isósceles,
cuyos lados iugales miden hc y cuyo lado desigual mide a. Como el tetraedro tiene 4 aristas, hay 4 secciones principales diferentes.

La
esfera inscrita al tetraedro es tangente a sus cuatro caras y su centro
es el centro geométrico del tetraedro.
La esfera circunscrita al
tetraedro pasa por sus cuatro vértices, y su centro también es el
centro geométrico del poliedro.
Los radios de ambas pueden extraerse
del triángulo de la sección principal.

El procedimiento general para hallar
la intersección de una recta con un sólido es contener la recta en un
plano, cortar éste con el sólido, y finalmente hacer la intersección de
la recta con la figura obtenida en esa sección.
En el caso del tetraedro, el plano auxiliar más conveniente es aquel que pasa por el vértice superior, ya que determinará una sección triangular en el tetraedro sumamente fácil de trazar. Para encontrarlo (esta construcción se ha obviado en la figura) se eligen dos puntos cualesquiera de la recta, que junto con el vértice superior definen el plano (en este ejemplo encontramos únicamente su traza horizontal, la vertical no nos hace falta).
En el caso del tetraedro, el plano auxiliar más conveniente es aquel que pasa por el vértice superior, ya que determinará una sección triangular en el tetraedro sumamente fácil de trazar. Para encontrarlo (esta construcción se ha obviado en la figura) se eligen dos puntos cualesquiera de la recta, que junto con el vértice superior definen el plano (en este ejemplo encontramos únicamente su traza horizontal, la vertical no nos hace falta).


El desarrollo de un tetraedro está
compuesto por cuatro triángulos equiláteros adosados, correspondientes
a las caras del poliedro.
Realizar la transformada de la sección
consiste en llevar a ese desarrollo el contorno de la sección obtenida
al intersectar la figura con un plano.
En la figura siguiente, se ha
trazado la transformada de una sección plana por un plano proyectante. En la
proyección horizontal hemos abatido las 3 caras inclinadas, junto con
los puntos de la sección. En la figura de la izquierda hemos organizado
las caras en otra disposición.

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Antonio Torregrosa Martínez - Universidad de Cádiz