Curso de Sistema Diédrico - Parte I
III.2.- Abatimientos

En la mayoría de los casos, la figura
plana cuyas proyecciones queremos representar esta contenida en un
plano oblícuo y no la podremos trazar convenientemente, ya que ambas proyecciones van a aparecer deformadas en el papel.
Para facilitar el trazado de esta figura plana (por ejemplo un polígono regular o una cónica), una opción es abatir el plano que la contiene sobre el papel. De esta forma, la tendremos en verdadera magnitud y propociones y podremos realizar la construcción de la figura por los métodos y reglas de la geometría plana conocida.
Una vez trazada la figura, se deshace el abatimiento del plano (y de la figura dibujada) y se encuentran las dos proyecciones diédricas de la figura.
Para facilitar el trazado de esta figura plana (por ejemplo un polígono regular o una cónica), una opción es abatir el plano que la contiene sobre el papel. De esta forma, la tendremos en verdadera magnitud y propociones y podremos realizar la construcción de la figura por los métodos y reglas de la geometría plana conocida.
Una vez trazada la figura, se deshace el abatimiento del plano (y de la figura dibujada) y se encuentran las dos proyecciones diédricas de la figura.
Este abatimiento suele realizarse haciendo un giro del plano alrededor de su traza horizontal (aunque puede hacerse de igual forma alrededor de la vertical).
Esta recta alrededor de la cual se hace el abatimiento se denomina genéricamente charnela. Para indicar el abatimiento, representamos sobre el papel la traza vertical del plano una vez abatida (vα'). Los elementos abatidos (rectas, puntos, trazas) se suelen denotar con un apóstrofe (') o mediante paréntesis.
Esta recta alrededor de la cual se hace el abatimiento se denomina genéricamente charnela. Para indicar el abatimiento, representamos sobre el papel la traza vertical del plano una vez abatida (vα'). Los elementos abatidos (rectas, puntos, trazas) se suelen denotar con un apóstrofe (') o mediante paréntesis.


Para realizar el abatimiento del plano,
se toma un punto arbitrario A del plano que esté situado en el plano
vertical (o, lo que es lo mismo, que esté en la traza vertical del plano). Como
A gira alrededor de la charnela (hα), el punto abatido A’ estará sobre la misma perpendicular a ella que la proyección horizontal A1. Y la distancia del vértice al punto (OA2) es la misma que la del vértice al punto abatido (OA’). Obtenido A’ se traza vα’.


Para abatir un punto cualquiera P del plano basta con dibujar la traza abatida del plano y usarla como referencia.
Se construye la línea horizontal r del plano que pasa por P, y se halla el punto B (corte de esa línea con el plano). Como P y B pertenecen ambos a una recta horizontal, tienen ambos la misma cota, y por tanto sus abatidos están en una línea paralela a la charnela (hα). La posición de P’ queda determinada sabiendo que debe estar en la perpendicular a la charnela que pasa por la proyección horizontal P1.

Se construye la línea horizontal r del plano que pasa por P, y se halla el punto B (corte de esa línea con el plano). Como P y B pertenecen ambos a una recta horizontal, tienen ambos la misma cota, y por tanto sus abatidos están en una línea paralela a la charnela (hα). La posición de P’ queda determinada sabiendo que debe estar en la perpendicular a la charnela que pasa por la proyección horizontal P1.

Existe un segundo método
para abatir un punto, que no necesita dibujar la traza abatida del
plano, basado en la construcción del triángulo rectángulo que forman P1, P’ y el punto de la charnela que corta a la perpendicular que pasa por P1 (M en la figura). En este triángulo, h es la cota de P y m es la distancia real de P a M (la distancia de P’ a la charnela).

Para desabatir un punto
del cual conocemos su posición P’ en el plano abatido, dibujamos una
recta r’ horizontal abatida del plano (paralela a la charnela) que pase
por él, que nos define un punto Q de corte con el plano. Desabatiendo
ese punto obtenemos la proyección horizontal de la recta r1 (y por tanto el alejamiento del punto P) y la vertical r2 (y a partir de ella la cota del punto P).


Para abatir una recta
cualquiera no hay más que abatir dos de sus puntos. En la figura, para
abatir los puntos P y B de la recta r nos hemos ayudado de dos
horizontales del plano, que a su vez hemos abatido.

Naturalmente, para desabatir una recta también bastará con desabatir dos de sus puntos.

El abatimiento de un plano proyectante es una simplificación del caso anterior. Siempre se toma como charnela la traza perpendicular a la línea de tierra, de manera que al abatir el plano la traza que gira queda sobre la línea de tierra.


Si el plano es paralelo a la línea de tierra, el abatimiento se realiza mediante una construccion auxiliar de perfil. Esta construcción permitirá averiguar la distancia real entre las trazas del plano y así dibujar la traza abatida. En el ejemplo, se incluyen dos puntos A y B del plano y sus abatidos.


Ya se ha comentado que las proyecciones de circunferencias o arcos de circunferencias contenidos en planos oblicuos son elipses o arcos de elipses.
Para realizar las construcciones correctamente debemos marcar en la figura abatida uno o dos pares de diámetros conjugados, que se convertirán a su vez en diámetros conjungados de la elipse (proyección), lo que permitirá definir las curvas resultantes con facilidad. Por comodidad, uno de esos diámetros puede ser paralelo a la charnela.


Puede comprobarse que existe una afinidad que relaciona la figura abatida con la proyección horizontal (en el caso de que la charnela sea la traza horizontal). En esta afinidad, el eje es la propia charnela y la dirección su perpendicular. El uso de esta afinidad puede simplificar el trazado de la proyección a partir de la figura abatida o viceversa.


En general, para la representación de las dos proyecciones de figuras planas, el procedimiento a seguir es el siguiente:
- Determinadas las condiciones del problema, localizar las trazas del plano donde se encuentra la figura.
- Tomar una traza como charnela y abatir la otra hasta obtener en posición horizontal el sector del plano comprendido en el primer diedro
- Sobre este sector abatido, dibujar la figura plana abatida, con lo cual podrá hacerse en verdadera magnitud y proporciones.
- Desabatir los puntos, rectas y curvas que definen la figura, obteniendo así las proyecciones deseadas (para ello puede usarse la afinidad mencionada).

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Antonio Torregrosa Martínez - Universidad de Cádiz