Curso de Sistema Diédrico - Parte I
V.3.- Exaedro

El Exaedro o Cubo es un polígono regular que tiene las siguientes características:
- Su superficie está compuesta por 6 caras planas que son cuadrados.
- Tiene 8 vértices.
- Tiene 12 aristas.

El exaedro tiene 3 magnitudes fundamentales, que son:
- La longitud de la arista a.
- La longitud de la diagonal de la cara dc.
- La longitud de la diagonal de la figura d.
A partir de cualquiera de ellas, practicando una homotecia a una figura como la siguiente (de dimensiones indiferentes) podemos encontrar las otras dos:


Se obtiene al cortar dos diagonales cualesquiera de la figura. Tambien
si se cortan dos rectas que unan centros de caras paralelas.


Esta posición del cubo es la más sencilla. Vemos el cuadrado de apoyo
en verdadera magnitud. Basta con elevar sobre el plano de apoyo (H en
el caso de la figura) una altura igual a la arista a del poliedro,
dibujando los 4 vértices de la cara opuesta a la cara apoyada en cuatro
perpendiculares a H.


Cuando el exaedro tiene una diagonal vertical, el contorno de la
proyección horizontal del poliedro es un hexágono regular, de forma que
la distancia entre un vértice y el que está dos después es la diagonal
de la cara. En proyección vertical, 3 vértices están a una altura de
1/3 de d , y otros 3 a 2/3 de d.


En este caso además tiene una arista en H. La distancia entre la arista apoyada y la paralela más alta es la
diagonal de la cara. Las aristas perpendiculares a las caras
proyectantes son horizontales y se ven en verdadera magnitud en la
proyección horizontal.


En general, para dibujar un exaedro apoyado en un plano, se debe
dibujar sobre el plano abatido la cara contenida en dicho plano y,
mediante perpendiculares al plano por los cuatro vértices, se levantan
los otros cuatro con una altura igual al lado. Si el plano es
proyectante, vemos esta altura en verdadera magnitud y si no lo es,
como en la figura del ejemplo, debemos trasladarla por los métodos de
distancia:


Como norma general, para hallar la
sección que un plano produce en un poliedro, se debe cortar ese plano
con todas las aristas del poliedro. Los puntos de corte, unidos, formarán
un polígono contenido en el plano. En un exaedro, un plano puede cortar
3, 4, 5 ó 6 aristas.
En el ejemplo siguiente se muestra un Exaedro apoyado en H cortado por un plano oblícuo.
Para la resolución, como la traza horizontal no toca la cara de apoyo,
solo hemos cortado las aristas verticales y las superiores levantadas
para encontrar la sección. En este caso hemos obtenido un polígono de 5
lados, porque el plano corta al exaedro en 5 aristas. Para ver la
sección en verdadera magnitud habría que abatir el plano y los vértices
del polígono sección (no se ha incluido).


Si el exaedro no está apoyado en H la
resolución del ejercicio es similar, pudiendo utilizarse un medio
auxiliar como un cambio de plano o un giro para conseguir posicionar el
conjunto plano-poliedro en situación más conveniente.

Se denomina Sección Principal del exaedro a la que produce un plano que
pasa por dos arista paralelas no contiguas. Determina un trectángulo,
cuyos lados menores miden a y cuyos lados mayores miden dc. Como el exaedro tiene 12 aristas, hay 6 secciones principales diferentes.
La esfera inscrita al exaedro es tangente a sus seis caras y su centro es el centro geométrico del exaedro.
La esfera inscrita al exaedro es tangente a sus seis caras y su centro es el centro geométrico del exaedro.
La esfera circunscrita al exaedro
pasa por sus ocho vértices, y su centro también es el centro geométrico
del poliedro.
Los radios de ambas pueden extraerse del rectángulo de la
sección principal.


Un plano que pase por el centro geométrico del cubo y es perpendicular
a una de sus diagonales produce en él una sección hexagonal regular,
cuyos vértices son los puntos medios de seis de sus aristas, y cuyos
lados miden la mitad de la diagonal de la cara dc.
Un plano que pasa por tres vértices del cubo que sean todos contiguos a un cuarto define una secion triangular regular cuyo lado es la diagonal de la cara dc. Cualquier plano paralelo a este que se acerque al cuarto vértice mencionado también produce una sección triangular regular.

El procedimiento general para hallar
la intersección de una recta con un sólido es contener la recta en un
plano, cortar éste con el sólido, y finalmente hacer la intersección de
la recta con la figura obtenida en esa sección.
En el caso del exaedro, el plano auxiliar más conveniente es un plano perpendicular a una cara (normalmente a la cara de apoyo), ya que determinará una sección paralelepipédica en el exaedro sumamente fácil de trazar. Como regla general, también puede usarse un plano proyectante que contenga a la recta.
En el caso de la figura del ejemplo este plano además es proyectante horizontal, y se determina de forma inmediata. En otro caso se eligen dos puntos cualesquiera de la recta, por los cuales trazaremos paralelas a los lados, rectas que definirán el plano (aquí encontramos únicamente su traza horizontal, la vertical no nos hace falta).
En el caso del exaedro, el plano auxiliar más conveniente es un plano perpendicular a una cara (normalmente a la cara de apoyo), ya que determinará una sección paralelepipédica en el exaedro sumamente fácil de trazar. Como regla general, también puede usarse un plano proyectante que contenga a la recta.
En el caso de la figura del ejemplo este plano además es proyectante horizontal, y se determina de forma inmediata. En otro caso se eligen dos puntos cualesquiera de la recta, por los cuales trazaremos paralelas a los lados, rectas que definirán el plano (aquí encontramos únicamente su traza horizontal, la vertical no nos hace falta).

El desarrollo de un exaedro está compuesto por seis cuadrados adosados, correspondientes a las caras del poliedro.
Realizar la transformada de la sección consiste en llevar a ese desarrollo el contorno de la sección obtenida al intersectar la figura con un plano. En la figura siguiente, se ha trazado la transformada de la sección plana de la figura 10.
En la parte derecha de la figura tenemos el desarrollo y la transformada de la sección por un plano oblícuo. Como todas las aristas las tenemos en verdadera magnitud en una u otra proyección, es fácil trasladar las distancias a la transformada.
Realizar la transformada de la sección consiste en llevar a ese desarrollo el contorno de la sección obtenida al intersectar la figura con un plano. En la figura siguiente, se ha trazado la transformada de la sección plana de la figura 10.
En la parte derecha de la figura tenemos el desarrollo y la transformada de la sección por un plano oblícuo. Como todas las aristas las tenemos en verdadera magnitud en una u otra proyección, es fácil trasladar las distancias a la transformada.

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Antonio Torregrosa Martínez - Universidad de Cádiz