Curso de Sistema Diédrico - Parte I
IV.1.- Ángulos

Igual que ocurría con las distancias, en las vistas diédricas no se
reflejan en verdadera magnitud los ángulos que forman dos entidades en
el espacio.
Como regla general, para deducir el ángulo que forman dos entidades (rectas, planos) en el espacio, se debe abatir el plano en el que está situado el ángulo buscado, para así ver este ángulo en verdadera magnitud.
Como regla general, para deducir el ángulo que forman dos entidades (rectas, planos) en el espacio, se debe abatir el plano en el que está situado el ángulo buscado, para así ver este ángulo en verdadera magnitud.

En el caso del ángulo que forman dos rectas que se cortan, se abate el
punto de corte y después se abaten las rectas. Puede aplicarse la
relación de afinidad que cumplen la proyección horizontal y la figura
abatida para el trazado.


Resolver el ángulo entre dos rectas que se cruzan en el espacio
consiste en trazar una paralela a una ellas que corte a la otra.
El ángulo de estas dos rectas que se cortan es el buscado.
En general, todos los problemas de resolución de ángulos deben reducirse al cálculo del ángulo que forman dos rectas, así que habrá que dar los pasos previos necesarios para conseguir ese ángulo entre dos rectas.
El ángulo de estas dos rectas que se cortan es el buscado.
En general, todos los problemas de resolución de ángulos deben reducirse al cálculo del ángulo que forman dos rectas, así que habrá que dar los pasos previos necesarios para conseguir ese ángulo entre dos rectas.

El ángulo que forman un plano α y una recta r que lo corta en el
punto M es el que forman esa recta y su proyección ortogonal sobre el
plano.
Para determinarlo, pueden usarse dos métodos:
Para determinarlo, pueden usarse dos métodos:
- El primero es trazar desde un punto P elegido de la recta una perpendicular t al plano α, de forma que el ángulo entre r y t cumple que es complementario del buscado (suman 90º), asi que hemos reducido el problema a un ángulo entre dos rectas (r y t). Este método no proporciona el ángulo directamente, sino su complementario.
- El segundo método, además de lo anterior, calcula el punto M (corte de r con α) y el punto Q (corte de t con α), para obtener la recta s. Con esta recta s y con r ya podemos determinar el ángulo buscado.


Para determinar el ángulo que forman dos planos α y β, también existen dos métodos:
- El primero consiste en dibujar la línea u, intersección de ambos planos. Por un punto de ella se dibuja un plano perpendicular γ, que será a su vez perpendicular a los dos planos α y β. El corte de γ con α da la recta r y el corte de γ con β da la recta s. El ángulo entre r y s es el buscado.
- El segundo es trazar dos líneas m y n, la primera perpendicular a α y la segunda, que debe cortarse con la primera, a β. El ángulo que forman m y n es el suplementario del buscado (180º menos el buscado).


Para determinar los ángulos que forma
una recta con los planos de proyección, se hace la construcción
siguiente, basada en abatir la recta tal y como se hacía para
determinar la longitud de un segmento:

Para trazar una recta que forme ángulos α y β dados con H y V, nos basamos en la figura siguiente.
Elegimos un punto al azar como traza vertical y construimos dos triángulos rectángulos abatidos; el primero de ellos contiene el ángulo alfa y determina la longitud del segmento r. El otro, sobre el primero, contiene el ángulo beta.
Desabatiendo éste último se obtiene el pie de la traza horizontal, y desabatiendo el primero se obtiene la traza horizontal (ver figura de la derecha). Para que la construcción sea correcta, α + β debe ser <= 90º. Lo contrario es geométricamente imposible.
Elegimos un punto al azar como traza vertical y construimos dos triángulos rectángulos abatidos; el primero de ellos contiene el ángulo alfa y determina la longitud del segmento r. El otro, sobre el primero, contiene el ángulo beta.
Desabatiendo éste último se obtiene el pie de la traza horizontal, y desabatiendo el primero se obtiene la traza horizontal (ver figura de la derecha). Para que la construcción sea correcta, α + β debe ser <= 90º. Lo contrario es geométricamente imposible.

Existe un método mucho más simple, basado en la construcción siguiente:
Suponemos un punto
P y otro punto hipotético cualquiera trazada la recta r desde el punto P. Segun
la composición de la izquierda, para los ángulos de r dados α y β ese
punto tendrá una diferencia de cota y y una diferencia de alejamiento
x. Eligiendo una longitud de r al azar construimos la circunferencia de
abajo, que contiene dos triángulos rectángulos que nos dan r1, r2 y las
diferencias de cota y alejamiento x e y. No tenemos mas que aplicar
estos datos sobre el punto P (figura de la derecha) para obtener las posibles soluciones
(cualquier combinación de r1 y r2 es válida).


El ángulo que forma un plano con H es el que forma una lmp (línea de máxima pendiente) del dicho plano con H, así que dibujando una lmp cualquiera del plano reducimos el problema al de un ángulo entre una recta y el plano H.
Análogamente, el ángulo que forma un plano con el plano V es el que forma una lmi (línea de máxima inclinación) del plano con V, así que dibujando una lmi cualquiera reducimos el problema al de un ángulo entre una recta y el plano V.
Análogamente, el ángulo que forma un plano con el plano V es el que forma una lmi (línea de máxima inclinación) del plano con V, así que dibujando una lmi cualquiera reducimos el problema al de un ángulo entre una recta y el plano V.
Para dibujar un plano que forma un ángulo α con el plano H y un ángulo β con el plano V nos basamos en la construcción de la figura siguiente.
Elegimos un punto M de la
línea de tierra y trazamos una recta r que forme un ángulo 90-α con
H y 90-β con V. Esta recta será perpendicular al plano buscado.
En
la figura, se observa que la recta r es perpendicular a una lmp y a una
lmi del plano que se cortan en el mismo punto de corte de r con el
plano.


El ángulo que forma una recta con la
línea de tierra puede hallarse abatiendo la recta alrededor de la línea
de tierra, realizando la siguiente construcción.


Para determinar el ángulo que forma un plano con la LT se elige un
punto M de la LT y se traza por él la perpendicular al plano. El
punto de corte resultante unido con el vértice del plano determinan una
recta (AB en el dibujo) que forma con la LT el ángulo buscado, con lo
que el problema se reduce al caso que acaba de presentarse.

Existe otra construcción, más simple:

Este artículo está licenciado bajo Creative Commons Attribution 3.0 License
Antonio Torregrosa Martínez - Universidad de Cádiz