V.2.- Tetraedro

Icono IDevice Descripción
El Tetraedro es un poliedro regular que tiene las siguientes características:
  • Su superficie está compuesta por 4 caras planas que son triángulos equiláteros.
  • Tiene 4 vértices.
  • Tiene 6 aristas.



Icono IDevice Relaciones métricas

El tetraedro tiene 3 magnitudes fundamentales, que son:

  • La longitud a de la arista.
  • La longitud hc de la altura de una cara.
  • La longitud h de la altura del tetraedro.

A partir de cualquiera de las magnitudes anterioes, practicando una homotecia a una figura como la de la derecha (de dimensiones indiferentes) podemos encontrar las otras dos.

Relación entre magnitudes

Icono IDevice Elementos del Tetraedro
Caras del tetraedro

Las caras del tetraedro son triángulos equiláteros, por lo que sus tres alturas coinciden con sus tres medianas y con sus tres mediatrices. Si se coloca con un lado horizontal, el centro geométrico de la cara del tetraedro (incentro, circuncentro, ortocentro y baricentro) está en 1/3 de la altura perpendicular a ese lado (ver figura anterior).


Alturas del tetraedro

La altura h es la distancia entre un vértice y la cara opuesta (o entre un vértice y el pie de la perpendicular trazada por él a la cara opuesta). Este pie es el centro de la cara en cuestión.

Centro geométrico del tetraedro

Las cuatro alturas de la figura son iguales y se cortan en el centro geométrico del tetraedro. Si se coloca el tetraedro apoyado en una cara, su centro geométrico está a 1/4 de la altura perpendicular a esa cara.


Aristas del tetraedro

Las aristas del tetraedro se cruzan dos a dos perpendicularmente. Si se toman los puntos medios de las aristas y se unen dos a dos se obtienen dos segmentos que constituyen las mínimas distancias entre esas aristas que se cruzan.

Para hallar esta mínima distancia, hay que dibujar un triángulo rectángulo en el cual un cateto es a/2 y la hipotenusa es hc.

Mínima distancia entre aristas que se cruzan

Icono IDevice Tetraedro apoyado en uno de los planos de proyección
Esta posición del tetraedro es la más sencilla. Basta con elevar sobre el plano de apoyo (H en el caso de la figura) la altura h del poliedro, colocando el cuarto vértice en la vertical sobre el centro de la cara apoyada.

Tetraedro apoyado en uno de los planos de proyección
 

Icono IDevice Tetraedro con dos aristas horizontales

Cuando el tetraedro tiene dos aristas horizontales (en la figura, además, una pertenece a H), el contorno de la proyección horizotal del poliedro es un cuadrado, del cual sabemos que la diagonal es igual a la artista del poliedro.

La altura de la proyección vertical viene dada por la mínima distancia (m.d.) entre las dos aristas paralelas que se cruzan (ver apartados anteriores).

 

Tetraedro con dos aristas horizontales
 

 


Icono IDevice Tetraedro apoyado en un plano proyectante
En general, para dibujar un tetraedro apoyado en un plano, se debe dibujar sobre el plano abatido la cara contenida en dicho plano y, mediante una perpendicular por su centro, se levanta el 4º vértice con la altura adecuada (obtenida de la figura homotética auxiliar).

Si el plano es proyectante, vemos esta altura en verdadera magnitud:
Tetraedro apoyado en un plano proyectante
 


Icono IDevice Tetraedro apoyado en un plano oblicuo
Como solución general para cualquier plano, debemos llevar sobre la perpendicular por el centro de la cara apoyada en él la distancia, en sus dos proyecciones, que corresponda a la altura del tetraedro:

Tetraedro apoyado en un plano oblicuo




Icono IDevice Secciones planas del tetraedro
Como norma general, para hallar la sección que un plano produce en un poliedro, se debe cortar ese plano con todas las aristas del mismo. Los puntos de corte, unidos, formarán un polígono contenido en el plano.

En un tetraedro, un plano secante puede cortar 3 ó 4 aristas. En el primer caso, el polígono obtenido es un triángulo y en el segundo, un cuadrilátero.
 
En los siguientes ejemplos se ilustran diferentes secciones planas. Se han obviado los trazados auxiliares (cortes de recta y plano, horizontales del plano para trasladar puntos, etc...) para dar más claridad a las soluciones.

 


Icono IDevice Sección por un plano horizontal

Tetraedro apoyado en H y cortado por un plano horizontal. La sección es un triángulo equilátero que vemos en verdadera magnitud en la proyección horizontal. El caso análogo es el plano apoyado en V y cortado por un plano frontal.

Tetraedro apoyado en H cortado por un plano horizontal
 


Icono IDevice Sección por un plano proyectante
Tetraedro apoyado en H y cortado por plano proyectante vertical. Si la traza horizontal del plano corta a la base, la sección es un cuadrilátero, y en caso contrario (como en el ejemplo), la sección es un triángulo. Su trazado también es sencillo, ya que en podemos encontrar de forma inmediata la proyección verical de la sección. Sin embargo, necesitaremos abatir el plano para ver dicha sección en verdaderas dimensiones (no se ha incluido).

Tetraedro apoyado en H cortado por un plano proyectante vertical
 


Icono IDevice Sección por un plano oblícuo
Tetraedro apoyado en H cortado por un plano oblícuo. Igual que en caso anterior, si la traza horizontal del plano corta a la base, la sección es un cuadrilátero, y en caso contrario es un triángulo. En el ejemplo, como la traza horizontal del plano de corte no toca la cara de apoyo, solo hemos cortado las tres aristas levantadas para encontrar la sección. Para ver la sección en verdadera magnitud hay que abatir el plano (no se ha incluido).

Tetraedro apoyado en H cortado por un plano oblicuo
 
 

Icono IDevice Sección Principal. Esferas inscrita y circunscrita.
Se denomina Sección Principal del tetraedro a la que le produce un plano que pasa por una arista y por el punto medio de la arista contraria. Determina un triángulo isósceles, cuyos lados iugales miden hc y cuyo lado desigual mide a. Como el tetraedro tiene 4 aristas, hay 4 secciones principales diferentes.
Seccion Principal.
La esfera inscrita al tetraedro es tangente a sus cuatro caras y su centro es el centro geométrico del tetraedro.
La esfera circunscrita al tetraedro pasa por sus cuatro vértices, y su centro también es el centro geométrico del poliedro.
Los radios de ambas pueden extraerse del triángulo de la sección principal.



Icono IDevice Intersección con una recta
El procedimiento general para hallar la intersección de una recta con un sólido es contener la recta en un plano, cortar éste con el sólido, y finalmente hacer la intersección de la recta con la figura obtenida en esa sección.

En el caso del tetraedro, el plano auxiliar más conveniente es aquel que pasa por el vértice superior, ya que determinará una sección triangular en el tetraedro sumamente fácil de trazar. Para encontrarlo (esta construcción se ha obviado en la figura) se eligen dos puntos cualesquiera de la recta, que junto con el vértice superior definen el plano (en este ejemplo encontramos únicamente su traza horizontal, la vertical no nos hace falta).

Intersección de tetraedro y recta
 


Icono IDevice Desarrollo del Tetraedro. Transformada de la Sección.
El desarrollo de un tetraedro está compuesto por cuatro triángulos equiláteros adosados, correspondientes a las caras del poliedro.

Realizar la transformada de la sección consiste en llevar a ese desarrollo el contorno de la sección obtenida al intersectar la figura con un plano.
 
En la figura siguiente, se ha trazado la transformada de una sección plana por un plano proyectante. En la proyección horizontal hemos abatido las 3 caras inclinadas, junto con los puntos de la sección. En la figura de la izquierda hemos organizado las caras en otra disposición.

Desarrollo y Transformada

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Antonio Torregrosa Martínez - Universidad de Cádiz