Curso de Sistema Diédrico - Parte I
II.4.- Distancias

La verdadera distancia entre dos
puntos del espacio (o la longitud de un segmento, como se prefiera) no
se manifiesta en verdadera magnitud en ninguna de las proyecciones
diédricas (salvo que la recta sea horizontal o frontal).
En la figura (caso genérico) ocurre que r >= r1 (AC > A1C1) y r >= r2 (AC > A2C2):

Para manifestar esa magnitud, debe
construirse una reproducción del segmento en verdadero tamaño sobre el
papel. Aunque hay varios métodos para hacerlo, el más sencillo es
abatir el segmento en el papel alrededor de una de sus proyecciones.
Para ello, en la fgura de la
izquierda se han construído dos triángulos rectángulos. Los catetos del
primero son la diferencia de cotas (b) y la diferencia de refererencias
o coordenadas z (a) y la hipotenusa es r2. En el segundo, los catetos son r2
y la diferencia de alejamientos (c), y la hipotenusa es la longitud
real de r buscada. Llevarlo al sistema diédrico es muy simple: En la
figura de la derecha hemos construido directamente el segundo triángulo
con r2 y c (diferencia de alejamientos):

Igualmente puede realizarse la misma construcción haciendo uso de r1 y de la diferencia de cotas (b):

Si se necesita trasladar un segmento
de una longitud dada sobre una recta, no hay más que practicar una
homotecia. Se toma un punto cualquiera Q para abatir la recta y se
marca la longitud deseada sobre ella. Luego se desabate el extremo
sobre las proyecciones de la recta (punto B, en la figura).


La distancia entre un punto P y un plano α es la longitud del
segmento que une el punto P con el punto de corte Q de la recta que
pasa por P y es perpendicular al plano, así que el problema se reduce a
dibujar esta recta y a calcular el punto de corte Q.


Para hallar la distancia de un punto P a una recta r, hay que dibujar
un plano α perpendicular a la recta r y que contenga al punto P. El
punto Q de corte de la recta r y el plano α es el segundo punto del
segmento que define la distancia pedida.


Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas r y s, hay que
dibujar un plano perpendicular a ambas. Los puntos de corte P y Q de
las rectas con el plano definen el segmento buscado.


Para determinar la distancia entre dos planos paralelos, hay que
dibujar una recta r perpendicular a ambos. Los puntos P y Q de
intersección de r con los planos proporcionan el segmento buscado.


Cuando dos rectas r y s se cruzan en el espacio, existe una mínima
distancia entre ellas, y el segmento que contiene esa distancia está en
una recta t perpendicular a ambas.
Para dibujarla, se debe tomar un punto A de r y por él dibujar una recta u paralela a s. Las rectas r y u definen un plano α que es paralelo a la recta s. Si hallamos la distancia entre α y s tomando un punto arbitrario B de s y determinando el punto C (distancia punto-plano) ya tenemos la distancia buscada BC.
Para situar además correctamente el segmento buscado, se dibuja una recta v paralela a s por C, que se corta con r en el punto T. La recta paralela a BC que pasa por T define el punto Q. El segmento TQ es el que contiene la mínima distancia buscada.
Para dibujarla, se debe tomar un punto A de r y por él dibujar una recta u paralela a s. Las rectas r y u definen un plano α que es paralelo a la recta s. Si hallamos la distancia entre α y s tomando un punto arbitrario B de s y determinando el punto C (distancia punto-plano) ya tenemos la distancia buscada BC.
Para situar además correctamente el segmento buscado, se dibuja una recta v paralela a s por C, que se corta con r en el punto T. La recta paralela a BC que pasa por T define el punto Q. El segmento TQ es el que contiene la mínima distancia buscada.

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Antonio Torregrosa Martínez - Universidad de Cádiz