V.4.- Octaedro

Icono IDevice Descripción
El Octaedro es un poliedro regular que tiene las siguientes características:
  • Su superficie está compuesta por 8 caras planas que son triángulos equiláteros.
  • Tiene 6 vértices.
  • Tiene 12 aristas.


Icono IDevice Relaciones métricas
El octaedro tiene 3 magnitudes fundamentales, que son:
  • La longitud de la arista a.
  • La longitud de la altura de la cara hc.
  • La longitud de la diagonal de la figura d.

A partir de cualquiera de ellas, practicando una homotecia a una figura como la siguiente (de dimensiones indiferentes) podemos encontrar las otras dos:

 

 

Las 8 caras del octaedro son paralelas dos a dos. Para calcular la distancia entre dos caras paralelas, utilizamos la misma figura anterior.

 

 

 


Icono IDevice Centro geométrico

Se obtiene al cortar dos diagonales cualesquiera de la figura. Tambien si se cortan dos rectas que unan centros de dos caras paralelas, o dos rectas que unan puntos medios de dos aristas paralelas.

 

 


Icono IDevice Octaedro con una diagonal vertical

Esta posición del octaedro es la más sencilla. En proyección horizontal obtenemos un cuadrado cuyo lado es la arista de la figura. Para la proyección vertical únicamente necesitamos la longitud de la diagonal.

 

 


Icono IDevice Octaedro con una cara apoyada en H

Cuando el octaedro está apoyado en una cara en H, en la proyección horizontal vemos un hexágono, formado por lo tres vértices de la cara apoyada y por los tres de la cara paralela, que también vemos en verdadera magnitud.

En proyección vertical, la distancia entre esas dos caras es la distancia entre caras paralelas que hemos visto en apartados anteriores.

 


 


Icono IDevice Octaedro apoyado en un plano
En general, para dibujar un octaedro apoyado en un plano, se debe dibujar sobre el plano abatido la cara de apoyo, y, una vez desabatida, levantar una perpendicular por su centro y, a una distancia igual a la distancia entre caras paralelas, dibujar el triángulo paralelo con orientación contraria.

Para facilitar la construcción, podemos dibujar en el plano abatido el un hexágono formado por la cara de apoyo y la paralela, desabatir los 6 puntos y después elevar los tres puntos correspondientes a la cara elevada una altura igual a la distancia entre caras paralelas.
 
 



Icono IDevice Secciones planas
Como norma general, para hallar la sección que un plano produce en un poliedro, se debe cortar ese plano con todas las aristas del mismo. Los puntos de corte, unidos, formarán un polígono contenido en el plano. En un octaedro, un plano puede cortar 4, 5 ó 6 caras, con lo que la sección tendrá otras tantas aristas y vértices.

En el ejemplo siguiente se muestra un octaedro con una diagonal principal vertical cortado por un plano oblícuo. En este caso hemos obtenido un polígono de 6 lados, porque el plano corta al octaedro en 6 aristas. Para ver la sección en verdadera magnitud habría que abatir el plano y los vértices del polígono sección (no se ha incluido).
 
 
En el ejemplo siguiente se muestra un octaedro apoyado en H cortado por un plano oblícuo. En este caso hemos obtenido un polígono de 5 lados, porque el plano corta al octaedro en 5 aristas. Para ver la sección en verdadera magnitud habría que abatir el plano y los vértices del polígono sección (no se ha incluido).
 

 
Si el octaedro no está apoyado en H la resolución de los ejercicios es similar, pudiendo utilizarse un medio auxiliar como un cambio de plano o un giro para conseguir posicionar el poliedro en situación más conveniente.
 

Icono IDevice Sección principal. Esferas inscrita y circunscrita.

Se denomina Sección Principal del octaedro a la que produce un plano que pasa por una diagonal y por los puntos medios de dos lados paralelos que se crucen con ella.


Determina un rombo, cuya anchura es a, cuya altura es d, y cuyos cuatro lados son hc. Como el octaedro tiene 3 diagonales, hay 3 secciones principales diferentes.

Seccion principal
La esfera inscrita al octaedro es tangente a sus seis caras, su centro es el centro geométrico del octaedro y su radio es la mitad de la distancia entre caras.

La esfera circunscrita al octaedro pasa por sus seis vértices, su centro también es el centro geométrico del poliedro y su radio es la mitad de la diagonal.
 


Icono IDevice Sección hexagonal regular

Un plano que pase por el centro geométrico del octaedro y por los puntos medios de dos aristas concurrentes define una sección hexagonal regular, cuyos vértices son los puntos medios de seis de sus aristas, y cuyos lados miden la mitad de la arista a. Los seis vértices del hexágono son puntos medios de otras tantas aristas del octaedro.

 


 


Icono IDevice Intersección con una recta
El procedimiento general para hallar la intersección de una recta con un sólido es contener la recta en un plano, cortar éste con el sólido, y finalmente hacer la intersección de la recta con la figura obtenida en esa sección.

En el caso del octaedro, el plano auxiliar más conveniente es un plano proyectante, cuya intersección con las aristas del poliedro se puede determinar fácilmente.


Icono IDevice Desarollo. Transformada de la sección.
El desarrollo de un octaedro está compuesto por ocho triángulos adosados, correspondientes a las caras del poliedro. Las caras pueden organizarse de varias formas, siempre que concuerden unas con otras. Aqui hay varios ejemplos:

Desarrollo del octaedro

La transformada de una sección plana se representa de forma similar a como se ha visto en los capítulos correspondientes al tetraedro y al exaedro.

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Antonio Torregrosa Martínez - Universidad de Cádiz