IV.1.- Ángulos

Icono IDevice Introducción
Igual que ocurría con las distancias, en las vistas diédricas no se reflejan en verdadera magnitud los ángulos que forman dos entidades en el espacio.

Como regla general, para deducir el ángulo que forman dos entidades (rectas, planos) en el espacio, se debe abatir el plano en el que está situado el ángulo buscado, para así ver este ángulo en verdadera magnitud.

Icono IDevice Ángulo de dos rectas que se cortan
En el caso del ángulo que forman dos rectas que se cortan, se abate el punto de corte y después se abaten las rectas. Puede aplicarse la relación de afinidad que cumplen la proyección horizontal y la figura abatida para el trazado.

Angulo de dos rectas que se cortan

Icono IDevice Ángulo de dos rectas que se cruzan
Resolver el ángulo entre dos rectas que se cruzan en el espacio consiste en trazar una paralela a una ellas que corte a la otra.

El ángulo de estas dos rectas que se cortan es el buscado.

En general, todos los problemas de resolución de ángulos deben reducirse al cálculo del ángulo que forman dos rectas, así que habrá que dar los pasos previos necesarios para conseguir ese ángulo entre dos rectas.

Icono IDevice Ángulo entre recta y plano
El ángulo que forman un plano α y una recta r que lo corta en el punto M es el que forman esa recta y su proyección ortogonal sobre el plano.

Para determinarlo, pueden usarse dos métodos:
  • El primero es trazar desde un punto P elegido de la recta una perpendicular t al plano α, de forma que el ángulo entre r y t cumple que es complementario del buscado (suman 90º), asi que hemos reducido el problema a un ángulo entre dos rectas (r y t). Este método no proporciona el ángulo directamente, sino su complementario.
  • El segundo método, además de lo anterior, calcula el punto M (corte de r con α) y el punto Q (corte de t con α), para obtener la recta s. Con esta recta s y con r ya podemos determinar el ángulo buscado.
Angulo de recta y plano

Icono IDevice Ángulo que forman dos planos
Para determinar el ángulo que forman dos planos α y β, también existen dos métodos:
  • El primero consiste en dibujar la línea u, intersección de ambos planos. Por un punto de ella se dibuja un plano perpendicular γ, que será a su vez perpendicular a los dos planos α y β. El corte de γ con α da la recta r y el corte de γ con β da la recta s. El ángulo entre r y s es el buscado.
  • El segundo es trazar dos líneas m y n, la primera perpendicular a α y la segunda, que debe cortarse con la primera, a β. El ángulo que forman m y n es el suplementario del buscado (180º menos el buscado).
Angulo de dos planos

Icono IDevice Ángulos de una recta con los planos de proyección
Para determinar los ángulos que forma una recta con los planos de proyección, se hace la construcción siguiente, basada en abatir la recta tal y como se hacía para determinar la longitud de un segmento:

Angulos de una recta con los planos V y H

Para trazar una recta que forme ángulos α y β dados con H y V, nos basamos en la figura siguiente.

Elegimos un punto al azar como traza vertical y construimos dos triángulos rectángulos abatidos; el primero de ellos contiene el ángulo alfa y determina la longitud del segmento r. El otro, sobre el primero, contiene el ángulo beta.

Desabatiendo éste último se obtiene el pie de la traza horizontal, y desabatiendo el primero se obtiene la traza horizontal (ver figura de la derecha). Para que la construcción sea correcta, α + β debe ser <= 90º. Lo contrario es geométricamente imposible.

Recta que forma ángulos dados con V y H
 
Existe un método mucho más simple, basado en la construcción siguiente:
 
Suponemos un punto P y otro punto hipotético cualquiera trazada la recta r desde el punto P. Segun la composición de la izquierda, para los ángulos de r dados α y β ese punto tendrá una diferencia de cota y y una diferencia de alejamiento x. Eligiendo una longitud de r al azar construimos la circunferencia de abajo, que contiene dos triángulos rectángulos que nos dan r1, r2 y las diferencias de cota y alejamiento x e y. No tenemos mas que aplicar estos datos sobre el punto P (figura de la derecha) para obtener las posibles soluciones (cualquier combinación de r1 y r2 es válida).

 

Recta que forma angulos dados con V y H

 


Icono IDevice Ángulos de un plano con los planos de proyección
El ángulo que forma un plano con H es el que forma una lmp (línea de máxima pendiente) del dicho plano con H, así que dibujando una lmp cualquiera del plano reducimos el problema al de un ángulo entre una recta y el plano H.

Análogamente, el ángulo que forma un plano con el plano V es el que forma una lmi (línea de máxima inclinación) del plano con V, así que dibujando una lmi cualquiera reducimos el problema al de un ángulo entre una recta y el plano V.

Para dibujar un plano que forma un ángulo α con el plano H y un ángulo β con el plano V nos basamos en la construcción de la figura siguiente.

Elegimos un punto M de la línea de tierra y trazamos una recta r que forme un ángulo 90-α con H y 90-β con V. Esta recta será perpendicular al plano buscado.


En la figura, se observa que la recta r es perpendicular a una lmp y a una lmi del plano que se cortan en el mismo punto de corte de r con el plano.

Angulos de un plano con V y H

 


Icono IDevice Ángulos de una recta con la línea de tierra
El ángulo que forma una recta con la línea de tierra puede hallarse abatiendo la recta alrededor de la línea de tierra, realizando la siguiente construcción.

Angulo de una recta con la LT

Icono IDevice Ángulo de un plano con la línea de tierra
Para determinar el ángulo que forma un plano con la LT se elige un punto M de la LT y se traza por él la perpendicular al plano. El punto de corte resultante unido con el vértice del plano determinan una recta (AB en el dibujo) que forma con la LT el ángulo buscado, con lo que el problema se reduce al caso que acaba de presentarse.

Angulo de un plano con la LT

Existe otra construcción, más simple:

Angulo de un plano con la LT (2)

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Antonio Torregrosa Martínez - Universidad de Cádiz